如图，在直四棱柱$ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$中，底面$ABCD$为直角梯形，$AB\perp AD$，$AD\parallel BC$，$AD=2AB=2BC$，$P$为${{A}_{1}}{{D}_{1}}$上一点，且$\triangle PAD$为正三角形，$Q$为$PD$上一点．

$(1)$若$PD=3PQ$，求证：$PB\parallel$平面$ACQ$；

$(2)$当$PQ\perp $平面$ABQ$时，求平面$ACQ$与平面$APB$所成锐二面角的余弦值．

$(1)$证明见解析

$(2)$$\\dfrac{\\sqrt{15}}{5}$

$(1)$如图，连接$BD$与$AC$交于点$R$，连接$QR$．

$∵$$AD\mathrm{}BC$，$∴$$\triangle BCR\mathsf{\backsim }\triangle DAR$，

$∴$$\dfrac{BR}{DR}=\dfrac{BC}{DA}=\dfrac{1}{2}$．

又$PD=3PQ$，$∴$$\dfrac{PQ}{QD}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{BR}{DR}$，

$∴$$PB\parallel QR$．

又$PB\not\subset $平面$ACQ$，$QR\subset$平面$ACQ$，

$∴$$PB\parallel$平面$ACQ$．

$(2)∵$$PQ\perp $平面$ABQ$，$AQ\subset $平面$ABQ$，$∴$$PQ\perp AQ$．

$∵$$\triangle PAD$为正三角形，$∴P$是${{A}_{1}}{{D}_{1}}$的中点，$Q$是$PD$的中点．

以$A$为坐标原点，以$AB$，$AD$，$A{{A}_{1}}$所在直线分别为$x$，$y$，$z$轴建立空间直角坐标系，如图所示．

设$AD=2AB=2BC=4$，则$A{{A}_{1}}=2\sqrt{3}$，

$A\left( 0,0,0 \right)$，$B\left( 2,0,0 \right)$，$C\left( 2,2,0 \right)$，$P\left( 0,2,2\sqrt{3} \right)$，$Q\left( 0,3,\sqrt{3} \right)$，

$∴$$\overrightarrow{AB}=\left( 2,0,0 \right)$，$\overrightarrow{AC}=\left( 2,2,0 \right)$，$\overrightarrow{AP}=\left( 0,2,2\sqrt{3} \right)$，$\overrightarrow{AQ}=\left( 0,3,\sqrt{3} \right)$．

设平面$ACQ$的法向量为${{\boldsymbol{n}}_{1}}=\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}} \right)$，

则$\begin{cases} {{{\boldsymbol{n}}}_{1}}\perp \overrightarrow{AC} \\ {{{\boldsymbol{n}}}_{1}}\perp \overrightarrow{AQ} \\ \end{cases}$，得$\begin{cases} 2{{x}_{1}}+2{{y}_{1}}=0 \\ 3{{y}_{1}}+\sqrt{3}{{z}_{1}}=0 \\ \end{cases}$，

取${{x}_{1}}=1$，得${{\boldsymbol{n}}_{1}}=\left( 1,-1,\sqrt{3} \right)$．

设平面$APB$的法向量为${{\boldsymbol{n}}_{2}}=\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}} \right)$，

则$\begin{cases} {{{\boldsymbol{n}}}_{2}}\perp \overrightarrow{AP} \\ {{{\boldsymbol{n}}}_{2}}\perp \overrightarrow{AB} \\ \end{cases}$，得$\begin{cases} 2{{y}_{2}}+2\sqrt{3}{{z}_{2}}=0 \\ 2{{x}_{2}}=0 \\ \end{cases}$，得${{x}_{2}}=0$，

取${{y}_{2}}=\sqrt{3}$，得${{\boldsymbol{n}}_{2}}=\left( 0,\sqrt{3},-1 \right)$．

$∴$$\cos \left\langle {{\boldsymbol{n}}_{1}},{{\boldsymbol{n}}_{2}} \right\rangle =\dfrac{{{\boldsymbol{n}}_{1}}\cdot {{\boldsymbol{n}}_{2}}}{\left| {{\boldsymbol{n}}_{1}} \right|\cdot \left| {{\boldsymbol{n}}_{2}} \right|}=\dfrac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{5}\times 2}=-\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，

$∴$平面$ACQ$与平面$APB$所成锐二面角的余弦值为$\dfrac{\sqrt{15}}{5}$．