当$E_{k0}=0$时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角$\theta $均为$45^\circ $，最终从$Q$点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示。求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在$Q$点出射时的动能。

$\\dfrac {5}{R}\\sqrt {\\dfrac {mU}{e}}$；$\\dfrac {\\pi R}{4}\\sqrt{\\dfrac {m}{eU}}$；$8eU$

设电子进入Ⅰ区的速度大小为$v_{1}$，电子从$P$开始进入Ⅰ区过程中，根据动能定理可得$2eU=\dfrac {1}{2}mv^{2}_{1}$，解得$v_{1}=2\sqrt {\dfrac {eU}{m}}$，设电子在Ⅰ区运动轨迹半径为$r$，电子在Ⅰ区运动情况如图$1$所示。

根据图中几何关系可得$\tan 22.5^\circ =\dfrac {r}{R}$，解得$r=0.4R$，根据洛伦兹力提供向心力可得$ev_{1}B_{1}=m\dfrac {v^{2}_{1}}{r}$，解得Ⅰ区的磁感应强度大小$B_{1}=\dfrac {5}{R}\sqrt {\dfrac {mU}{e}}$，粒子在Ⅰ区运动的周期$T=\dfrac {2\pi m}{eB_{1}}$，粒子轨迹对应的圆心角为$\alpha =360^\circ -(180^\circ -45^\circ )=225^\circ $，电子在Ⅰ区磁场中的运动时间$t=\dfrac {225^\circ }{360^\circ }T$，整理可得$t=\dfrac {\pi R}{4}\sqrt {\dfrac {m}{eU}}$，从开始运动到从$Q$点射出，根据动能定理可得电子在$Q$点出射时的动能为$E_{kⅠ}=8eU$。

已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当$E_{k0}=keU$时，要保证电子从出射区域出射，求$k$的最大值。

$\\dfrac {13}{6}$

电子在Ⅰ区运动的轨迹恰好与边界相切时，$k$值最大，电子在Ⅰ区运动轨迹如图$2$所示。

根据几何关系可得$r^{2}+R^{2}=(\sqrt {3}R-r')^{2}$，解得$r'=\dfrac {\sqrt {3}}{3}R$，根据洛伦兹力提供向心力可得$r'=\dfrac {mv}{eB_{1}}$，由此可得$r'∝v$，$r'^{2}∝E_{k}$，如果$k=0$，则粒子在Ⅰ区运动的轨迹半径$r_{0}=r=0.4R$，所以有$\dfrac {r'^{2}}{r^{2}_{0}}=\dfrac {\dfrac {1}{3}R^{2}}{0.4^{2}R^{2}}=\dfrac {25}{12}$，且有$\dfrac {r'^{2}}{r_0^2}=\dfrac {E'^{k}}{E_{k}}=\dfrac {keU+2eU}{2eU}$，解得$k=\dfrac {13}{6}$，所以要保证电子从出射区域出射，$k$的最大值为$\dfrac {13}{6}$。