求滑块运动到圆弧轨道最低点$B$时对轨道的压力大小；

滑块运动到圆弧轨道最低点$B$时对轨道的压力大小为$9\\;\\rm N$

滑块从$A$到$B$运动过程中，由机械能守恒定律得

$mgR(1-\cos\theta)= \dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}$

代入数据解得:$v_{B}=2\sqrt{10}\;\rm m/s$

在最低点，对滑块，由牛顿第二定律有

$F_{NB}-mg=m\dfrac{v_{B}^{2}}{R}$

解得:$F_{NB}=9\;\rm N$

由牛顿第三定律可知，滑块在最低点对轨道的压力大小为$9\;\rm N$。

若滑块与粗糙水平面间的动摩擦因数$\mu =0.5$，滑块停在距$B$多远处？

滑块停在距$B4m$处

设滑块停在轨道$BC$上离$B$点距离为$L$。

滑块在水平面上向右滑行过程，由动能定理得

$-\mu mgL=0- \dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}$

解得:$L=4\;\rm m$

若滑块与粗糙水平面间的动摩擦因数$\mu = \dfrac{1}{8}$，滑块能否到达$D$点？若能到达，滑块经过$D$点时对轨道的压力多大？

能到达，滑块经过$D$点时对轨道的压力为$2.5\\;\\rm N$

设恰好到达$D$点时速度为$v_{D}$，则有$mg = m\dfrac{v_{D}^{2}}{r}$

解得:$v_{D} = \sqrt{5}\;\rm m/s$

假设滑块能到达$D$点，设滑块经过最高点$D$时速度为$v$，由$B$到$D$，根据动能定理得

$-\mu mgl-mg\cdot 2r= \dfrac{1}{2}mv^{2} - \dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}$

解得:$v = \dfrac{1}{2}\sqrt{30}\;\rm m/s$

由于$v\gt v_{D}$

故滑块能达到$D$点。设在$D$点轨道对滑块的压力大小为$F_{ND}$，则$F_{ND} + mg = m\dfrac{v^{2}}{r}$

代入数据解得:$F_{ND}=2.5\;\rm N$

由牛顿第三定律可知，滑块经过$D$点时对轨道的压力为$2.5\;\rm N$。