分子云中的致密气体和尘埃在引力作用下不断集聚逐渐形成恒星，恒星的演化会经历成年期（主序星）、中年期（红巨星、超巨星）、老年期$——$恒星最终的归宿与其质量有关，若质量为太阳质量的$1\sim 8$倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的$10\sim 20$倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。假设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。已知逃逸速度为第一宇宙速度的$\sqrt{2}$倍，中子星密度约为白矮星密度的$10^{8}$倍，白矮星半径约为中子星半径的$10^{3}$倍。根据万有引力理论，下列说法正确的是$(\qquad)$

恒星坍缩后的第一宇宙速度变大

中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度

同一恒星表面任意位置的重力加速度大小相同

恒星坍缩后表面两极处的重力加速度变小

$\rm A$、对绕恒星运动的行星来说有$G\dfrac{Mm}{r^{2}} = m\dfrac{v^{2}}{r}$

当行星运动轨道半径为恒星的半径时，其速度为该恒星的第一宇宙速度，有$v = \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$

由于恒星坍缩前后，其质量不变，体积缩小，即半径变小，所以恒星坍缩后的第一宇宙速度变大，故$\rm A$正确；

$\rm B$、由之前的分析可知，某星球的第一宇宙速度的为$v = \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$

由于星球的质量可以表示为$M = \rho V = \rho \cdot \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$

整理有$v = \sqrt{\dfrac{4G\rho\pi R^{2}}{3}}$

又因为，由题意可知，中子星密度约为白矮星密度的$10^{8}$倍，白矮星半径约为中子星半径的$10^{3}$倍，所以中子星的第一宇宙速度大于白矮星的第一宇宙速度。即

$v_{中}\gt v_{白}$

又因为已知逃逸速度为第一宇宙速度的$\sqrt{2}$倍，所以中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，故$\rm B$错误；

$\rm D$、由于在恒星两极处，其物体不随恒星一起自转，所以其万有引力全部提供其重力，有$G\dfrac{Mm}{R^{2}} = mg$

整理有$g = \dfrac{GM}{R^{2}}$

由于恒星坍缩前后，其质量不变，体积缩小，即半径变小。所以恒星坍缩后表面两极处的重力加速度变大，故$\rm D$错误；

$\rm C$、恒星上某一位置的物体受到的万有引力有两个效果，一个是提供物体所恒星一起转动的向心力，一个是该物体所受的重力，即$G\dfrac{Mm}{R^{2}} = mg + m\dfrac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$

由于在恒星表面不同位置，物体做圆周运动的半径不同，所以同一恒星表面任意位置的重力加速度大小不一定相同，故$\rm C$错误。

故选：$\rm A$。