| 研究天体运动规律 题目答案及解析
稿件来源：高途
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必修2
第六章 万有引力与航天
6.4 万有引力理论的成就
研究天体运动规律
一宇航员到达某星球表面后，为测定该星球的平均密度，做了如下实验：取一细线，细线一端拴一小球，使它在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，测得细线长度为$L$，细线与轴线之间的夹角为$\theta$。小球质量为$m$，圆周运动的周期为$T$。已知引力常量为$G$，星球半径为$R$。
根据测得数据推导该星球表面的重力加速度$g^\prime$；
根据测得数据推导该星球表面的重力加速度$g^\\prime$为$\\dfrac{4\\pi^{2}L\\cos\\theta}{T^{2}}$
"]]小球在水平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得$mg'\tan\theta = m\dfrac{4\pi^{2}}{T^{2}}L\sin\theta$
可得该星球表面的重力加速度为$g' = \dfrac{4\pi^{2}L\cos\theta}{T^{2}}$
求出该星球的平均密度$\overline{\rho}$。
求出该星球的平均密度为$\\dfrac{3\\pi L\\cos\\theta}{GRT^{2}}$
"]]在星球表面，由万有引力等于重力可得$G\dfrac{Mm}{R^{2}} = mg'$，$M = \overline{\rho} \cdot \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$
联立解得该星球的平均密度为$\overline{\rho} = \dfrac{3\pi L\cos\theta}{GRT^{2}}$
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