开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在$20$余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，得出了开普勒三定律。为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。开普勒认为，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上、行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理，请你以地球绕太阳公转为例，若太阳的质量为$M$，引力常量为$G$。根据万有引力定律和牛牛顿运动定律推导出此常量的表达式；

根据万有引力定律和牛牛顿运动定律推导出此常量的表达式$k = \\dfrac{GM}{4\\pi^{2}}$

设地球的质量为$m$，地球绕太阳公转的半径为$r$，太阳对地球的引力提供地球做匀速圆周运动的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有$G\dfrac{Mm}{r^{2}} = m\dfrac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$

解得$\dfrac{r^{3}}{T^{2}} = \dfrac{GM}{4\pi^{2}}$

根据开普勒第三定律有$\dfrac{r^{3}}{T^{2}} = k$

则有$k = \dfrac{GM}{4\pi^{2}}$

物体沿着圆周的运动是一种常见的运动，匀速圆周运动是当中最简单也是最基本的一种，由于做匀速圆周运动的物体的速度方向时刻在变化，因而匀速圆周运动仍旧是一种变速运动。具有加速度，可按如下模型来研究做匀速圆周运动的物体的加速度；设质点沿半径为$r$、圆心为$O$的圆周以恒定大小的速度$v$运动，某时刻质点位于位置$A$，经极短时间$\Delta t$后运动到位置$B$，如图所示，试根据加速度的定义，推导质点在位置$A$时的加速度的大小$a_{A}$；

质点在位置$A$时的加速度的大小$a_{A} = \\dfrac{v^{2}}{r}$

如图所示，设质点经极短时间$\Delta t$后运动到位置$B$速度变化量大小为$\Delta v$，根据几何知识可知图中两个三角形相似，则有$\dfrac{\Delta v}{v} = \dfrac{AB}{r}$

当圆心角很小时，可认为弦长$AB$与弧长$AB$相等，设弧长$AB$为$L$，则$\dfrac{\Delta v}{v} = \dfrac{L}{r}$

根据线速度的定义有$v = \dfrac{L}{\Delta t}$

则有$\dfrac{\Delta v}{v} = \dfrac{v\Delta t}{r}$

即$\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{v^{2}}{r}$

根据加速度定义有$a_{A} = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$

则有$a_{A} = \dfrac{v^{2}}{r}$

在研究匀变速直线运动的位移时，我们常用“以恒代变”的思想：在研究曲线运动的“瞬时速度”时，又常用“化曲为直”的思想，而在研究一般的曲线运动时，我们用的更多的是一种“化曲为圆”的思想，即对于一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以将曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作半径为某个合适值$\rho$的圆周运动的一部分，进而采用圆周运动的分析方法来进行研究、$\rho$叫做曲率半径，如图$2$所示，试据此分析图$3$所示的斜抛运动中，轨迹最高点处的曲率半径$\rho$。

图$3$所示的斜抛运动中，轨迹最高点处的曲率半径$\\rho = \\dfrac{v_{0}^{2}\\cos^{2}\\theta}{g}$

在斜抛运动的最高点，质点的速度为$v=v_{0}\cos\theta$

在最高点可以把质点的运动看作半径为$\rho$的圆周运动，质点受到重力提供了向心力，根据牛顿第二定律有$mg = m\dfrac{v^{2}}{\rho}$