轻绳即将断裂时的张力；

轻绳即将断裂时的张力为$8mg$

设$B$摆至最低点的速度为$v$，根据动能定理有:$2mgl(1-\cos\alpha)= \dfrac{1}{2} \times 2mv^{2}$

代入题设条件解得:$v=v_{0}$

设轻绳即将断裂时其中的张力为$F_{T}$，对$B$受力分析，根据牛顿第二定律有:$F_{T} - 2mg = 2m\dfrac{v^{2}}{l - \dfrac{2}{3}l}$

代入数据解得:$F_{T}=8mg$

第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值（用$v_{0}$、$t_{0}$表示）；

第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值为$0.64v_{0}t_{0}$

设$A$的质量为$m_{A}$，碰后$A$的速度为$v_{A}$，$B$与$A$发生完全弹性正碰，碰撞前后动量守恒，

以向右为正有:$2mv_{0}=m_{A}v_{A}+2m\cdot (-0.2v_{0}$ ）

机械能守恒:$\dfrac{1}{2} \times 2mv_{0}^{2} = \dfrac{1}{2}m_{A}v_{A}^{2} + \dfrac{1}{2} \times 2m(0.2v_{0})^{2}$

解得:$m_{A}=3m$，$v_{A}=0.8v_{0}$

易知$t=t_{0}$时弹簧压缩量最大，记为$\Delta x$。设压缩过程中$A$的速度为$v_{A}(t)$，$B$，$B$的速度为$v_{B}(t)$

微分求和得:$\Delta x = \sum_{t = 0}^{t_{0}}\ v_{B}(t)\Delta t - \sum_{t = 0}^{t_{0}}\ v_{A}(t)\Delta t$

利用动量守恒:$3mv_{A}+2mv_{B}=2mv_{0}$

将$v_{B}(t)$用$v_{A}(t)$，$B$替换可得:$\Delta x = v_{0}t_{0} - \dfrac{5}{2}\sum_{t = 0}^{t_{0}}\ v_{A}(t)\Delta t$

代入题给条件:$\sum_{t = 0}^{t_{0}}\ v_{A}(t)\Delta t = 0.144v_{0}t_{0}$

可求得:$\Delta x=0.64v_{0}t_{0}$

物块$A$与斜面间的动摩擦因数$\mu $的取值范围。

物块$A$与斜面间的动摩擦因数$\\mu $的取值范围为$\\dfrac{9}{20} \\leqslant \\mu \\lt \\dfrac{45}{68}$

$A$若要与$B$发生二次碰撞，其不能越过斜面。设$A$在斜面顶端的速度为$v_{m}$，由动能定理得$- 3mgh - 3\mu mg\cos\theta \cdot \dfrac{h}{\sin\theta} = \dfrac{1}{2} \times 3mv_{m}^{2} - \dfrac{1}{2} \times 3m(0.8v_{0})^{2}$

不能越过斜面即等价于:$v_{m}^{2} \leqslant 0$

代入可解得:$\mu \geqslant \dfrac{9}{20}$

$A$若要与$B$发生二次碰撞，其除了不能越过斜面之外，其返回至水平面时速度大小必须比$B$的大。设此时$A$在斜面上的最大高度为$h_{m}$，返回水平面时的速度为$v^\prime$，根据动能定理得$- 3mgh_{m} - 3\mu mg \cdot \dfrac{h_{m}}{\tan\theta} = - \dfrac{1}{2} \times 3m(0.8v_{0})^{2}$

$3mgh_{m} - 3\mu mg \cdot \dfrac{h_{m}}{\tan\theta} = \dfrac{1}{2} \times 3m(v')^{2}$

从中可以得到$v^\prime$与$v_{0}$的关系:（$v^\prime)^{2}= \dfrac{16(\tan\theta - \mu)}{25(\tan\theta + \mu)}v_{0}^{2}$

$A$返回的速度$v^\prime$要大于$B$在水平面上的速度$0.2v_{0}$，代入可解得:$\mu \lt \dfrac{45}{68}$

最后，$A$能够从斜面上滑下必须满足条件:$3mg\sin\theta-3\mu mg\cos\theta\geqslant 0$

从中解得:$\mu \leqslant \dfrac{3}{4}$

综上可得$A$与斜面间的动摩擦因数应满足:$\dfrac{9}{20} \leqslant \mu \lt \dfrac{45}{68}$