若物块进入圆弧轨道$BCD$后恰好不脱轨，求物块在传送带上运动的时间；

物块在传送带上运动的时间为$2\\;\\rm s$

若物块进入圆弧轨道$BCD$后恰好不脱轨，则在$B$点有$mg= \dfrac{mv_{B}^{2}}{R}$

可得$v_{B}=2\;\rm m/s$

物体在传送带上运动时，由$\mu _{1}mg=ma$

可得$a=2\;\rm m/s^{2}$

若物块一直加速，则末速度为$v= \sqrt{2aL_{1}}$，解得$v=2\sqrt{3}\rm m/s\gt v_{B}$

由此可知物块应该是先加速后匀速，则加速的位移$x= \dfrac{v_{B}^{2}}{2a}$，解得$x=1\;\rm m$

物块在传送带上运动的时间$t= \dfrac{v_{B}}{a} + \dfrac{L_{1} - x}{v_{B}}$，解得$t=2\;\rm s$

若传送带的速度为$3\;\rm m/s$，求物块经过圆弧轨道$EFG$最低点$G$时，轨道对物块的作用力大小；

轨道对物块的作用力大小为$18.5\\;\\rm N$

若传送带的速度$3\;\rm m/s$，则物体先加速后匀速，经过$B$点时的速度为$3\;\rm m/s$，由动能定理可得$mg(R+2R\sin30^\circ+R)= \dfrac{1}{2}mv_{G}^{2} - \dfrac{1}{2}mv_{B1}^{2}$

由牛顿第二定律有$F_{N}-mg= \dfrac{mv_{G}^{2}}{R}$

联立可得轨道对物块的作用力大小$F_{N}=18.5\;\rm N$

若传送带的最大速度为$5\;\rm m/s$，在不脱轨的情况下，求滑块在木板上运动过程中产生的热量$Q$与传送带速度$v$之间的关系。

滑块在木板上运动过程中产生的热量传送带速度$v$之间的关系满足：当$2\\;\\rm m/s\\leqslant v\\leqslant 3\\;\\rm m/s$时，$Q= \\dfrac{24 + v^{2}}{15}\\;\\rm J$；当$3\\;\\rm m/s\\lt v\\leqslant 5\\;\\rm m/s$时，$Q=2.2\\;\\rm J$

若在木板上恰好不分离，设物块在$B$的速度为$v_{B2}$，在$G$点的速度为$v_{G1}$，物块与木板共速的速度为$v_{2}$，根据动量守恒有$mv_{G1}=(M+m)v_{2}$

根据动能定理有$\mu _{2}mgL_{2}= \dfrac{1}{2}mv_{G1}^{2} - \dfrac{1}{2}(M+m)v_{2}^{2}$

根据动能定理有$mg(R+2R\sin30^\circ+R)= \dfrac{1}{2}mv_{G1}^{2} - \dfrac{1}{2}mv_{B2}^{2}$

联立可得$v_{B2}=3\;\rm m/s$

则当$2\;\rm m/s\leqslant v\leqslant 3\;\rm m/s$时，有$Q= \dfrac{1}{2}mv_{G}^{2} - \dfrac{1}{2}(M+m)v_{2}^{2}$，得$Q= \dfrac{24 + v^{2}}{15}J$

则当$3\;\rm m/s\lt v\leqslant 5\;\rm m/s$时，有$Q=\mu _{2}mgL_{2}$，解得$Q=2.2\;\rm J$