高中 | 斜面问题 题目答案及解析

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必修1

第四章 牛顿运动定律

4.6 用牛顿运动定律解决问题(一)

斜面问题

为了研究滑板运动中的滑道设计,如图所示,将滑道的竖直截面简化为直轨道$BC$与圆弧轨道$CDE$,半径$OC$$BC$垂直,$AB$两点的高度差$h=1.8\;\rm m$$BC$两点的高度差$H=9\;\rm m$$BC$段动摩擦因数$\mu =0.25$$CDE$段摩擦不计,圆弧半径$R=5\;\rm m$,运动过程空气阻力不计,$BC$与水平方向的夹角$\theta=37^\circ$。将运动员及滑板简化为一质量$m=60\;\rm kg$的质点,经过前一滑道的滑行,到达图示的$A$点时速度恰好水平向右,到达$B$点时速度恰好与斜面平行进入斜面,经过$CDE$后竖直上抛再从$E$点落回滑道,取$g=10\;\rm m/s^{2}$。求:

运动员到达$B$点时的速度大小;

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运动员到达$B$点时的速度大小为$10\\;\\rm m/s$

"]]

分解运动员到达$B$点的速度,有:$v_{B}= \dfrac{v_{By}}{\sin 37{^\circ}}$

竖直方向根据速度$—$位移公式有:$v_{By} = \sqrt{2gh}$

联立代入数据解得:$v_{B}=10\;\rm m/s$

第一次到达$D$点时滑板对$D$点的压力;

[["

第一次到达$D$点时滑板对$D$点的压力为$3480\\;\\rm N$,方向竖直向下

"]]

运动员从$B$运动到$D$,由动能定理有:$mgH - \mu mg\dfrac{H}{\sin\theta}\cos\theta + mgR(1 - \cos\theta) = \dfrac{1}{2}mv_{D}^{2} - \dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}$

运动员在$D$点,受力分析根据牛顿第二定律可得$F_{N} - mg = \dfrac{mv_{D}^{2}}{R}$

联立代入数据解得:$F_{N}=3480\;\rm N$

根据牛顿第三定律可知$F_{压}=F_{N}=3480\;\rm N$,方向竖直向下

运动员有几次向上冲出$E$点的机会。

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运动员有$2$次向上冲出$E$点的机会

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要冲出$E$点,在$C$点的速度$v_{c}$必须满足:$\dfrac{1}{2}mv_{C\min}^{2} = mgR\cos\theta$

解得:$v_{C\min}^{2} = 80\;\rm m^{2}/s^{2}$

由牛顿第二定律有:$mg\sin\theta-\mu mg\cos\theta=ma_{1}$

代入数据解得:$a_{1} = 4\;\rm m/s^{2}$

根据运动学公式:$v_{C1}^{2} − v_{B}^{2}=2a_{1}\dfrac{H}{\sin\theta}$

代入数据解得:$v_{C1}^{2} = 220\;\rm m^{2}/s^{2}$

$v_{C1}^{2}\gt v_{C\min}^{2}$第一次能冲出$E$

返回时,由牛顿第二定律有:$mg\sin\theta+\mu mg\cos\theta=ma_{2}a_{2} = 8\;\rm m/s^{2}$

$x = \dfrac{v_{c1}^{2}}{2a_{2}}$

代入数据解得:$x=13.75\text m\lt 15\;\rm m$

再次返回$C$点的速度:$v_{c2}^{2} = 2a_{1}x$

代入数据解得:$v_{C2}^{2}=110\;\rm m^{2}/s^{2}$

$v_{c2}^{2}\gt v_{C\min}^{2}$,第二次能冲出$E$点,再次返回$v_{c3}^{2} = \dfrac{a_{1}}{a_{2}}v_{c2}^{2}$

代入数据解得:$v_{C3}^{2} = 55\;\rm{m^{2}/s^{2}}\lt v_{C\min}^{2}$

第三次不能冲上$E$点,综上所述总共能有$2$次冲上$E$点的机会

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