滑块运动到$B$点的过程中产生的热量；

滑块运动到$B$点的过程中产生的热量$2\\mu mgR$

滑块运动到$B$点的过程中产生的热量为

$Q=\mu mg\cdot 2R=2\mu mgR$

滑块在$C$点的初速度$v_{0}$满足的条件。

滑块在$C$点的初速度满足$v_{0}\\gt \\sqrt{6\\mu gR}$

滑块在水平轨道上向左做匀减速直线运动，滑块恰好到达$B$点时与轨道共速，取向左为正方向，由能量守恒定律和动量守恒定律得$\mu mg \cdot 2R = \dfrac{1}{2}mv_{0}^{2} - \dfrac{1}{2}(2m + m)v_{B}^{2}$

$mv_{0}=(2m+m)v_{B}$

联立解得$v_{0} = \sqrt{6\mu gR}$

要使滑块能越过$B$点滑上圆弧$AB$，滑块在$C$点的初速度应满足$v_{0}\gt \sqrt{6\mu gR}$

若滑块在$C$点的初速度$v_{0}$，求滑块滑上圆弧$AB$后能达到的最大高度。

滑块滑上圆弧$AB$后能达到的最大高度$\\dfrac{2}{3}\\mu R$

滑块滑上圆弧$AB$后当滑块和轨道共速时，滑块达到最大高度$h$，取向左为正方向，由系统水平方向动量守恒和能量守恒可得

$mv_{0}=(m+2m)v_{共}mgh = \dfrac{1}{2}mv_{0}^{2} - \dfrac{1}{2}(m + 2m)v_{共}^{2} - \mu mg \cdot 2R$

解得滑块滑上圆弧$AB$后能达到的最大高度为$h = \dfrac{2}{3}\mu R$