小物块$B$的质量$m_{B}$；

$2\\;\\rm kg$

初始时木板$A$刚好不上滑，对木板$A$受力分析得$T_{1}=m_{A}g\sin\theta+\mu _{1}m_{A}g\cos\theta$

对小物块$B$受力分析得$T_{1}=m_{B}g$

解得$m_{B}=2\;\rm kg$

木板$A$在斜面上向上运动的最大距离$s$及运动时间$t$；

$0.4\\ \\rm m$，$1\\;\\rm s$

当小物块$C$滑上木板$A$后未共速前，对小物块$C$、木板$A$和小物块$B$受力分析得$m_{C}g\sin\theta+\mu _{2}m_{C}g\cos\theta=m_{C}a_{C}$

$T_{2}+\mu _{2}m_{C}g\cos\theta-m_{A}g\sin\theta-\mu _{1}(m_{A}+m_{C})g\cos\theta=m_{A}a_{AB}$

$m_{B}g-T_{2}=m_{B}a_{AB}$

解得$a_{C}=12\;\rm m/s^{2}$，$a_{AB}=0.5\;\rm m/s^{2}$

即小物块$C$做匀减速直线运动，木板$A$和小物块$B$做匀加速直线运动，设经过时间$t_{1}$后木板$A$和小物块$C$达到共速，此时有$v_{0}-a_{C}t_{1}=a_{AB}t_{1}$

$s_{1}=\dfrac{1}{2}a_{\text{AB}}t_{1}^{2}$

解得$t_{1}=0.8\;\rm s$，$s_{1}=0.16\ \rm m$

此时二者速度大小均为$v_{共}=0.4\;\rm m/s$

木板$A$和小物块$C$共速之后二者相对静止一起运动，此时对$AC$整体和小物块$B$受力分析得$\mu _{1}(m_{A}+m_{C})g\cos\theta+(m_{A}+m_{C})g\sin\theta-T_{3}=(m_{A}+m_{C})a_{1}$

$T_{3}-m_{B}g=m_{B}a_{1}$

解得$a_{1}=2\;\rm m/s^{2}$

与速度方向相反，做匀减速直线运动，假设经过时间$t_{2}$从共速到速度减到零，则$v_{共}^{2}=2a_{1}s_{2}$

$t_{2}=\dfrac{v_{共}}{a_{1}}$

解得$s_{2}=0.4\ \rm m$，$t_{2}=0.2\;\rm s$

即三者速度减到零时小物块$B$恰好落地，所以木板$A$在斜面上向上运动的最大距离为$s=s_{1}+s_{2}$

解得$s=0.2\ \rm m$

运动时间为$t=t_{1}+t_{2}$

解得$t=1\;\rm s$

木板$A$回到初始位置时的速度大小$v$；

$\\dfrac{2}{5}\\sqrt{5}\\;\\rm \\text{m/s}$

小物块$B$落地的瞬间剪断轻绳后，木板$A$和小物块$C$将相对静止一起向下运动，对$AC$整体受力分析得$(m_{A}+m_{C})g\sin\theta-\mu _{1}(m_{A}+m_{C})g\cos\theta=(m_{A}+m_{C})a_{2}$

解得$a_{2}=2\;\rm m/s^{2}$

方向沿斜面向下，由运动学公式$v^{2}=2a_{2}s$

解得$v=\dfrac{2}{5}\sqrt{5}\;\rm \text{m/s}$

从木板$A$开始运动到木板$A$回到初始位置的过程中，画出地面对斜面体的静摩擦力$f$随时间$t$变化的图像。（规定水平向左为正方向，不用写出论证过程）

答案见解析

地面对斜面体的静摩擦力$f$随时间$t$变化的图像如下图所示