机器兔从$A$木板左端走到$A$木板右端时，求机械兔与轨道$B$左端的水平距离；

$1.5\\ \\rm m$；

对于机器兔和$A$木板，整个系统无外力，满足动量守恒，则有$0=Mv_{1}-mv_{2}$

所以两边同时乘时间，则有$Mx_{1}=mx_{2}$

又因位移满足$x_{1}+x_{2}=L_{A}$

所以可解得$x_{2}=1.5\ \rm m$；

已知轨道$B$水平部分上表面摩擦因数$\mu= \dfrac{1}{60}$，机器兔走到$A$木板右端相对木板静止后，固定木板$A$，以与水平方向成$45^\circ$夹角，大小为$4\;\rm m/s$的速度起跳，落到轨道$B$上后不反弹，且保持水平速度不变，然后在轨道上无动力滑行，求机械兔第一次离开轨道时，机械兔的速度大小；

$\\sqrt{\\dfrac{31}{6}}\\ \\text{m/s}$；

对于机器兔做斜上抛运动，在竖直方向，则有$0=v_{0}\sin 45^\circ  − gt$

在水平方向上，则有$x=2tv_{0}\cos 45^\circ $

可解得$x=1.6\ \rm m$

之后机器兔与轨道$B$，整个系统水平方向无外力，水平方向动量守恒，离开轨道时，水平方向与轨道共速，则有$Mv_{0}\cos 45^\circ =(M+m)v_{1}$

根据能量守恒，则有$\dfrac{1}{2}M{(v_{0}\cos 45{^\circ})}^{2}=\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}Mv^{2}+MgR+\mu Mg\lbrack L_{{B}}-(x-x_{2})\rbrack$

可解得$v=\sqrt{\dfrac{31}{6}}\ \text{m/s}$；

机器兔走到$A$木板右端相对木板静止后，以做功最少的方式从$A$木板右端跳到$B$木板左端，求起跳过程机器兔做的功，及跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值。

$45\\;\\rm J$，$1$。

对于机器兔的斜上抛运动，在水平方向，则有$x_{2}=2t_{0}v_{2}\cos \alpha$

在竖直方向，则有$0=v_{2}\sin \alpha-gt_{0}$

可解得$v_{2}^{2}=\dfrac{gx_{2}}{\sin 2\alpha}$

所以，当初速度与水平方向的夹角为$\alpha=45^\circ $

即$\tan \alpha=1$

此时，初速度为最小，即$v_{2}=\sqrt{15}\;\rm \text{m/s}$

对于机器兔起跳的瞬间，则有$W=\dfrac{1}{2}Mv_{2}^{2}=45\;\rm \text{J}$。