求小球的初速度$v_{0}$的大小；

$4\\sqrt{2}\\;\\rm \\text{m/s}$；

由几何关系可知小球到达$A$点时速度沿轨道的切线方向，与水平方向的夹角为$\alpha=\theta=37^\circ $，小球到达$A$点时竖直分速度设为$v_{y}$，则有$v_{y}^{2}=2gR(1+\cos\alpha)$

由$\tan\alpha=\dfrac{v_{y}}{v_{0}}$

解得$v_{0}=4\sqrt{2}\;\rm \text{m/s}$；

若小球恰好能通过最高点$C$，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功。

$-27\\;\\rm J$。

小球恰好能通过最高点$C$，在$C$点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律得$mg=m\dfrac{{v_{C}}^{2}}{R}$

对小球从平台到$C$点的过程，运用动能定理得$W_{{f}}=\dfrac{1}{2}mv_{C}^{2}-\dfrac{1}{2}m{v_{0}}^{2}$

解得$W_{f}=-27\;\rm J$。