若滑块刚好能过$D$点，求滑块静止释放时弹簧的弹性势能；

$0.2\\;\\rm J$；

设恰好通过轨道$BCD$的最高点$D$时的速度为$v_{D}$，则$mg=m\dfrac{{v_{D}}^{2}}{R}$

得$v_{D}=\sqrt{gR}=2\sqrt{2}\;\rm \text{m}/\text{s}$

由能量守恒$E_{\rm p}=mg \times 2R+\dfrac{1}{2}mv_{D}^{2}$

代入可得$E_{\rm p}=0.2\;\rm J$；

若滑块在运动过程中不脱离轨道，求第$1$次经过管道$DEF$的最高点$F$时，滑块对轨道弹力$F_{N}$的最小值；

$0.3\\;\\rm N$；

要求运动中，滑块不脱离轨道，恰好通过轨道$BCD$的最高点$D$时的速度$v_{D}=2\sqrt{2}\;\rm \text{m}/\text{s}$

滑块从$D$运动到$F$过程，由机械能守恒$\dfrac{1}{2}mv_{D}^{2}=\dfrac{1}{2}mv_{F}^{2}+2mgr$

在$F$点有$F_{{N}}+mg=m\dfrac{v_{F}^{2}}{r}$

联立解得$F_{N}=0.3\;\rm N$，$v_{F}=2\;\rm m/s$

由牛顿第三定律得滑块对轨道弹力为$0.3\;\rm N$；

若弹簧以最大弹性势能弹出，请判断游戏过程中滑块会脱离轨道吗？若不会，请求出滑块最终静止位置。

不会，最终滑块停在距离$F$点$0.4\\;\\rm m$处。

弹簧以最大弹性势能$E_{\rm pm}=0.5\;\rm J$弹出滑块，设第一次达到$D$处的速度为$v_{D1}$，同理由系统的机械能守恒得$E_{\rm pm}=2mgR+\dfrac{1}{2}m{v_{D1}}^{2}$

代入数据解得$v_{D1}=2\sqrt{17}\;\rm \text{m}/\text{s}$

因$v_{D1}\gt v_{D0}$，故滑块可以第一次经过$D$处。

设返回时第二次达到$D$处的速度为$v_{D2}$，由动能定理得$- \mu mg \times 2l=\dfrac{1}{2}m{v_{D2}}^{2}-\dfrac{1}{2}m{v_{D1}}^{2}$

代入数据解得$v_{D2}=2\sqrt{7}\;\rm \text{m}/\text{s}$

因$v_{D2}\gt v_{D0}$，故滑块可以第二次经过$D$处沿$BCD$轨道返回。

由机械能守恒定律可知，滑块第三次经过$D$的速度大小仍为$v_{D3}=2\sqrt{7}\;\rm \text{m}/\text{s}$

设此后滑块在轨道$FG$上运动的最大路程为$s$，由动能定理得$- \mu mgs-2mgr=0-\dfrac{1}{2}m{v_{D3}}^{2}$

代入数据解得$s=2.4\;\rm m$

因$s\lt 2l=4\;\rm m$

故滑块最终静止在轨道$FG$上，游戏过程中滑块不会脱离轨道；最终位置距离弹性板的距离为$2.4\;\rm m-2\;\rm m=0.4\;\rm m$。