自动扶梯的应用相当广泛，给生产、生活带来极大的方便。某斜坡式扶梯的长度$13\ \rm m$，对应的高度是$5\ \rm m$，木箱与扶梯表面的摩擦因数为$0.5$，扶梯可以恒定的速率$1\; \rm m/s$向上或向下运动。高一（$2$）班的小张同学将质量为$10\;\rm kg$的木箱轻放在扶梯上。重力加速度$g$取$10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$，以下分析正确的是$(\qquad)$

若放在电梯上端向下运送，木箱在沿斜坡向下运动了$0.65\\ \\rm m$时速率达到$1\\; \\rm m/s$

若放在电梯下端向上运送，木箱在沿斜坡向上运动了$0.65\\ \\rm m$时速率达到$1\\; \\rm m/s$

木箱与扶梯共速后，摩擦力对木箱的功率绝对值是$\\dfrac{600}{13}\\ \\text{W}$

向上运送全过程，因木箱而使电机输出的能量额外增加了$1205\\;\\rm J$

根据题意，设电梯的倾角为$\theta$，则有$\sin\theta=\dfrac{5}{13}$

解得$\cos\theta=\dfrac{12}{13}$

$\rm A$．若放在电梯上端向下运送，由牛顿第二定律有$mg\sin \theta+\mu mg\cos \theta=ma_{1}$

解得$a_{1}=\dfrac{110}{13}\ \text{m}/\text{s}^{\text{2}}$

由公式$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$可得，当木箱的速率达到$1\; \rm m/s$时，向下运动的距离为$x_{1}=\dfrac{v^{2}}{2a_{1}}=\dfrac{13}{220}\ \text{m}$

故$\rm A$错误；

$\rm B$．若放在电梯下端向上运送，由牛顿第二定律有$\mu mg\cos \theta − mg\sin \theta=ma_{2}$

解得$a_{2}=\dfrac{10}{13}\ \text{m}/\text{s}^{\text{2}}$

由公式$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$可得，当木箱的速率达到$1\; \rm m/s$时，向上运动的距离为$x_{}=\dfrac{v^{2}}{2a_{2}}=0.65\;\rm \text{m}$

故$\rm B$正确；

$\rm C$．木箱与扶梯共速后，木箱受静摩擦力，大小为$f=mg\sin \theta$

则摩擦力对木箱的功率绝对值是$P=fv=\dfrac{500}{13}\ \text{W}$

故$\rm C$错误；

$\rm D$．向上运送全过程，由能量守恒定律可知，因木箱而使电机输出的能量额外增加的为摩擦产生的热和木箱的机械能之和，由运动学公式$v=v_{0}+at$可得，共速需要的时间为$t=\dfrac{v}{a_{2}}=1.3\;\rm \text{s}$

则摩擦产生的热为$Q=\mu mg\cos\theta \cdot \Delta x=0.5 \times 10 \times 10 \times \dfrac{12}{13} \times (1.3-0.65)\;\rm \text{J}=30\;\rm \text{J}$

木箱的动能为$E_{\text{k}}=\dfrac{1}{2}mv^{2}=5\;\rm \text{J}$

木箱的重力势能为$E_{P}=mgh=500\;\rm J$

则因木箱而使电机输出的能量额外增加了$\Delta E=Q+E_{k}+E_{p}=535\;\rm J$

故$\rm D$错误。

故选：$\rm B$。