$2020$年，国产“质子治疗$230\;\rm MeV$超导回旋加速器”在原子能院完成设备安装和测试。回旋加速器的原理如图所示，$D_{1}$和$D_{2}$是两个半径为$R$的半圆型金属盒，接在电压为$U$、周期为$T$的交流电源上，位于$D_{1}$圆心处的质子源$A$能不断产生质子（初速度可以忽略），质子在两盒之间被电场加速，$D_{1}$、$D_{2}$置于与盒而垂直的磁感应强度为$B$的匀强磁场中。已知质子的电荷量为$q$、质量为$m$，忽略质子在电场中运动的时间，不考虑加速过程中的相对论效应，不计质子重力。下列说法正确的是$(\qquad)$

交流电源的周期等于质子做圆周运动周期的$2$倍

若只增大交流电源的电压$U$，则质子的最大动能将增大

质子在电场中加速的次数为$\\dfrac{qB^{2}R^{2}}{2mU}$

质子第$1$次和第$2$次经过两$D$型盒间狭缝后的运动轨迹半径之比为$1:2$

$\rm A$．为了保证质子在电场中不断被加速，则交流电源的周期等于质子做圆周运动的周期，选项$\rm A$错误；

$\rm B$．当质子被加速到速度最大时$qvB=m\dfrac{v^{2}}{R}$

则最大动能$E_{k}=\dfrac{1}{2}mv^{2}=\dfrac{B^{2}q^{2}R^{2}}{2m}$

则若只增大交流电源的电压$U$，则质子的最大动能不变，选项$\rm B$错误；

$\rm C$．根据$E_{\rm k}=nqU$可得质子在电场中加速的次数为$n=\dfrac{qB^{2}R^{2}}{2mU}$，选项$\rm C$正确；

$\rm D$．质子第一次经过$D$型盒时$qU=\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}$

则在磁场中运动半径$r_{1}=\dfrac{mv_{1}}{qB}=\dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mU}{q}}$

质子第二次经过$D$型盒时$2qU=\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}$

则在磁场中运动半径$r_{2}=\dfrac{mv_{2}}{qB}=\dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{4mU}{q}}$

质子第$1$次和第$2$次经过两$D$型盒间狭缝后的运动轨迹半径之比为$1:\sqrt{2}$，选项$\rm D$错误。

故选：$\rm C$。