首次碰撞后开始计时，木板速度第一次减为零时的位移大小；

$0.4\\;\\rm m$；

第$1$次碰撞后，木板向右做匀减速直线运动，速度为零时，位移为$s$

对木板由动能定理可得$- \mu mgs=- \dfrac{1}{2}m\left( \dfrac{v_{0}}{2} \right)^{2}$

解得$s=\dfrac{v_{0}^{2}}{8\mu g}$

代入数据得$s=0.4\;\rm m$；

木板长度$L$的最小值；

$1.92\\;\\rm m$；

之后，木板向左做匀加速直线运动，设板块最终有共同速度$v_{1}$，对于系统，由动量守恒定律得$mv_{0}-m\dfrac{v_{0}}{2}=2mv_{1}$

解得$v_{1}=\dfrac{v_{0}}{4}$

即板块以共同的速度$\dfrac{v_{0}}{4}$再次与墙面发生二次碰撞，第$1$次碰撞后至第$1$次共速二者相对位移为$L_{1}$，由能量守恒$\mu mgL_{1}=\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}+\dfrac{1}{2}m\left( \dfrac{v_{0}}{2} \right)^{2}-\dfrac{1}{2} \cdot 2m\left( \dfrac{v_{0}}{4} \right)^{2}$

解得$L_{1}=\dfrac{9v_{0}^{2}}{16\mu g}$

同理$m\dfrac{v_{0}}{4}-m\dfrac{v_{0}}{8}=2mv_{2}$

解得$v_{2}=\dfrac{v_{0}}{16}=\dfrac{v_{0}}{4^{2}}$

第$2$次碰撞后至第$2$次共速二者相对位移，由能量守恒得$\mu mgL_{2}=\dfrac{1}{2}m\left( \dfrac{v_{0}}{4} \right)^{2}+\dfrac{1}{2}m\left( \dfrac{v_{0}}{8} \right)^{2}-\dfrac{1}{2} \cdot 2m\left( \dfrac{v_{0}}{16} \right)^{2}$

解得$L_{2}=\dfrac{9v_{0}^{2}}{16\mu g} \cdot \dfrac{1}{16}$

以后每次情况均是如此，直至碰撞无数次后系统处于静止状态

此可得第$n$次碰撞后共速的速度$v_{n}=\dfrac{v_{0}}{4^{n}}$

第$n$次碰撞后至第$n$次共速二者相对位移$\mu mgL_{n}=\dfrac{1}{2}mv_{n-1}^{2}+\dfrac{1}{2}m\left( \dfrac{v_{n-1}}{2} \right)^{2}-\dfrac{1}{2} \cdot 2m\left( v_{n} \right)^{2}$

解得$L_{n}=\dfrac{9v_{0}^{2}}{16\mu g}\left( \dfrac{1}{16} \right)^{n-1}$

由等比数列求和公式可得$L=\sum\limits_{n=1}^{\infty}L_{n}=\dfrac{9v_{0}^{2}}{16\mu g}\left( \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{16}} \right)=\dfrac{9v_{0}^{2}}{15\mu g}$

代入数据得$L=1.92\;\rm m$；

整个过程因摩擦产生的热量。

$Q=9.6\\;\\rm J$。

摩擦生热$Q=\mu mgL=\dfrac{9mv_{0}^{2}}{15}$

代入数据得$Q=9.6\;\rm J$。