若在$B$与$C$碰撞前$A$与$B$已相对静止，则$x$至少为多少；

$4\\;\\rm m$；

$A$在$B$上做匀减速运动，$B$做匀加速运动，设$A$、$B$相对静止时，共同速度为$v_{1}$，根据动量守恒有$m_{A}v_{0}=(m_{A}+m_{B})v_{1}$

$B$运动加速度大小$a_{\text{B}}=\dfrac{\mu m_{\text{A}}g}{m_{\text{B}}}=2\;\rm \text{m}/\text{s}^{2}$

$B$运动的距离$x_{\text{B}}=\dfrac{v_{1}^{2}}{2a_{\text{B}}}=4\;\rm \text{m}$

因此，要使$B$与$C$碰撞前$A$与$B$已相对静止，则应$x\geqslant 4\;\rm m$。

若要使$B$与$C$第一次碰撞后，$B$向左运动的动量大小恰好等于$A$向右运动的动量大小，则最后$AB$静止，$B$不会再与$C$发生碰撞，求满足如上情况的$x$取值；

$x\\geqslant 1.125\\;\\rm m$；

$B$与$C$碰撞后，当$A$向右的动量等于$B$向右动量时$m_{A}v_{A}=m_{B}v_{B}$

根据动量守恒有$m_{A}v_{0}=m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}$

$B$运动的距离${x'}_{\text{B}}=\dfrac{v_{\text{B}}^{2}}{2a_{\text{B}}}=2.25\;\rm \text{m}$

因此，应$x=2.25\;\rm m$。

若$x=0.25\;\rm m$，则$B$与$C$会碰撞几次。

$3$次

当$x=0.25\;\rm m$时$x=\dfrac{1}{2}a_{\text{B}}t^{2}$

得$t_{1}=\dfrac{1}{2}\ \text{s}$

此时$v_{A1}=10\;\rm m/s$，$v_{B1}=1\;\rm m/s$

$B$与$C$碰撞后的速度大小为$v{^\prime}_{B1}=-1\;\rm m/s$

相邻两次碰撞的时间间隔$\Delta t=2\dfrac{v}{a_{\text{B}}}=1\;\rm \text{s}$

此时$v_{A2}=6\;\rm m/s$，$v_{B2}=1\;\rm m/s$

$B$与$C$再次碰撞后的速度大小为$v{^\prime}_{B2}=-1\;\rm m/s$

相邻两次碰撞的时间间隔$\Delta t=2\dfrac{v}{a_{\text{B}}}=1\;\rm \text{s}$

此时$v_{A3}=2\;\rm m/s$，$v_{B3}=1\;\rm m/s$

$B$与$C$第三次碰撞后的速度大小为$v{^\prime}_{B3}=-1\;\rm m/s$

此后不再碰撞，因此碰撞次数为$3$次。