求这列波的周期$T$和波长$\lambda$；

$0.6\\;\\rm s$，$8\\;\\rm m$；

由图可知，这列波的周期为$T=0.6\;\rm s$

若波由$A$向$B$传播，由波的周期性知$x_{AB}=\left( n+\dfrac{1}{4} \right)\lambda(n=0,1,2,3\cdots)$

由于$6\;\rm m\lt \lambda\lt 12\;\rm m$，此时无解；

若波由$B$向$A$传播，由波的周期性知$x_{AB}=\left( n+\dfrac{3}{4} \right)\lambda(n=0,1,2,3\cdots)$

由于$6\;\rm m\lt \lambda\lt 12\;\rm m$，可知，当$n=0$时$\lambda=8\;\rm m$

综上所述，波由$B$向$A$传播，周期为$0.6\;\rm s$，波长为$8\;\rm m$；

这列波通过$A$、$B$两点经历的时间；

$0.45\\;\\rm s$；

结合上述分析可知，该波的波速为$v=\dfrac{\lambda}{T}=\dfrac{40}{3}\ \rm m/s$

则这列波通过$A$、$B$两点经历的时间$t=\dfrac{x_{AB}}{v}=\dfrac{6}{\dfrac{40}{3}}\ \text{s}=0.45\;\rm \text{s}$；

设$P$点距$B$点$\dfrac{2}{3}\ \text{m}$，且在$AB$的中间，则从$t_{1}=0$开始，$P$点经过$0.65\;\rm s$通过的路程是多少？

$9\\;\\rm cm$。

结合上述分析可知，由于$BP=\dfrac{2}{3}\ \text{m}=\dfrac{1}{12}\lambda$

可知，$P$点经过$t=\dfrac{1}{12}T=0.05\;\rm \text{s}$

振动到平衡位置，结合数学三角函数的知识可以求得，$P$点的振动方程为$y=2\sin\left( \dfrac{2\pi}{0.6}t-\dfrac{\pi}{6} \right)\ \text{cm}$

可知，$P$点在$0.05\;\rm s$时间内的路程为$s_{1}=1\;\rm cm$

再继续运动$t'=T=0.6\;\rm s$

通过的路程为$s_{2}=4 A=8\;\rm cm$

则$P$点经过$0.65\;\rm s$通过的路程$s=s_{1}+s_{2}=9\;\rm cm$。