求$OC$的长；

$0.8\\;\\rm m$；

根据动能定理有$mgh_{1}=\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}-0$

得$v_{B}=\sqrt{2gh_{1}}=2\;\rm \text{m/s}$

做平抛运动时有$h_{2}=\dfrac{1}{2}gt^{2}$，$x=v_{B}t$

解得$x=0.8\;\rm m$

在$B$端接一长为$1.0\;\rm m$的木板$MN$，滑块从$A$端释放后正好运动$N$端停止，求木板与滑块的动摩擦因数；

$0.2$；

滑块从$B$端运动到$N$端停止的过程有$- \mu mgL=0-\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}$

代入数据解得$\mu =0.2$

若将木板右端截去长为$\Delta L$的一段，滑块从$A$端释放后将滑离木板落在水平面上$P$点处，要使落地点距$O$点的距离最远，$\Delta L$应为多少。

$0.16\\;\\rm m$

若将木板右端截去长为$\Delta L$的一段后，由动能定理有$- \mu mg(L-\Delta L)=\dfrac{1}{2}mv^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}$

则落地点距$O$点的距离为$s=L-\Delta L+vt$

联立得$s=1+0.8\sqrt{\Delta L}-\Delta L$

根据数学知识知，当$\sqrt{\Delta L}=\dfrac{b}{- 2a}=\dfrac{0.8}{- 2 \times (-1)}=0.4$

即$\Delta L=0.16\;\rm m$时，$s$最大，且$s_{\max}=1.16\;\rm m$