求粒子进入磁场时的速度大小；

$v= 2\\sqrt{\\dfrac{qEh}{m}}$

粒子在电场中做类平抛运动，则竖直方向$v_{y}^{2}=2ah$

由牛顿第二定律$a=\dfrac{qE}{m}$

粒子进入磁场时的速度大小$v=\sqrt{2}v_{y}$

解得$v=2\sqrt{\dfrac{qEh}{m}}$

若粒子第一次回到电场中高度为$h$时，粒子距$a$点的距离为$s=2h$，求磁场的磁感应强度大小的可能值；

$B= \\dfrac{1}{3}\\sqrt{\\dfrac{2Em}{qh}}$或者$B =\\sqrt{\\dfrac{2Em}{qh}}$

粒子从$a$点抛出到进入磁场时的水平位移$x=v_{0}t=v_{y}t=2\dfrac{v_{y}}{2}t=2h$

粒子进入磁场后做匀速圆周运动，离开磁场时速度方向与$x$轴正向仍成$45^\circ$角，到达高$h$高度时水平位移仍为$2h$，由题意可知

$2r\cos 45^\circ =2h+2h+2h$或$2r\cos 45^\circ =2h$

即$r=3\sqrt{2}h$或$r=\sqrt{2}h$

根据洛伦兹力提供向心力$qvB=m\dfrac{v^{2}}{r}$

可得$B=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{2Em}{qh}}$或$B=\sqrt{\dfrac{2Em}{qh}}$

若粒子第一次回到电场中高度为$h$时，粒子在电场中运动的时间与在磁场中运动的时间相等，求粒子此时距$a$点的距离。

$s=4h-\\dfrac{16h}{3\\pi}$

若粒子第一次回到电场中高度为$h$时，粒子在电场中运动的时间$t=\dfrac{2v_{y}}{a}=2\sqrt{\dfrac{2mh}{qE}}$

可知粒子在磁场中运动的时间也为$t=2\sqrt{\dfrac{2mh}{qE}}$

根据$t=\dfrac{3T}{4}=\dfrac{3\pi m}{2qB'}$

由洛伦兹力提供向心力$qvB'=m\dfrac{v^{2}}{r'}$

解得$r'=\dfrac{8\sqrt{2}h}{3\pi}$

此时粒子距$a$点的距离$s=4h-\sqrt{2}r'=4h-\dfrac{16h}{3\pi}$