小球从$A$运动到$B$的过程中，电场力做了多少功？

$−mgL$；

小球从$A$运动到$B$的过程中根据动能定理$mgL+W_{电}=0$，解得电场力做功为$W_{电}=−mgL$；

$A$、$B$两点电势差$U_{AB}$以及起始位置的场强$E_{0}$为多少？

$\\dfrac{- mgL}{q}$，$\\dfrac{mg}{q}$；

电场力做负功，$A$、$B$两点电势差$U_{AB}$为$U_{AB}=\dfrac{W_{电}}{q}=\dfrac{- mgL}{q}$，根据电场强度随位移$x$的变化图像可知$x=L$处的场强大小为$E_{L}=\dfrac{\dfrac{3}{4}L}{\dfrac{1}{4}L}E_{0}= 3E_{0}$，根据$U=Ed$可知图像与坐标轴围成的面积为$A$、$B$两点电势差的大小，故有$\dfrac{3}{4}L \cdot 3E_{0} \times \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{4}LE_{0} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{mgL}{q}$，解得$E_{0}=\dfrac{mg}{q}$；

物体在何处受力平衡？整个过程中小球的最大速度是多少？

$\\dfrac{L}{2}$，$\\sqrt{gL}$。

由图像可知图线的函数表达式为$E=E_{0} -\dfrac{4E_{0}}{L}x$，物体受力平衡时$|Eq|=mg$，由$E_{0}q=mg$可知开始运动时电场力方向竖直向下，即此时场强竖直向下，故物体受力平衡时，此时场强方向竖直向上，反应在图像上可知此时图线上场强小于零，设该位置处的$x$轴坐标为$x_{0}$，得$\left( \dfrac{4E_{0}}{L}x_{0}-E_{0} \right)q= mg$，解得$x_{0}= \dfrac{L}{2}$，小球到达平衡位置时加速度为零，此时速度最大。从开始运动到该位置，根据对称性可知电场力做功为零，由动能定理有$mg \cdot \dfrac{L}{2}=\dfrac{1}{2}mv^{2}- 0$，解得$v=\sqrt{gL}$。