若$h=0.8\ \rm m$，求碰撞后瞬间滑块$3$的速度大小$v_{C}$；

$v_{C}=2\\;\\rm m/s$

对滑块$1$由动能定理$mgh=\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}$

解得滑块$1$与滑块$2$碰前的速度大小为$v_{0}=4\;\rm m/s$

滑块$1$与滑块$2$碰撞过程中，由动量守恒定律$mv_{0}=2mv_{C}$

解得碰撞后瞬间滑块$3$的速度大小为$v_{C}=2\;\rm m/s$

若滑块$3$恰好能通过圆轨道$CDC{^\prime}$，求高度$h$；

$2\\;\\rm m$

在轨道$D$点，由牛顿第二定律$2mg=2m\dfrac{v_{D}^{2}}{R}$

解得$v_{D}=\sqrt{2}\;\rm \text{m/s}$

滑块$3$从$D$点到$C{'}$点，由机械能守恒定律$\dfrac{1}{2} \times 2mv_{C}{{}{'}}^{2}=2mg \cdot 2R+\dfrac{1}{2} \times 2mv_{D}^{2}$

解得${v_{C}}{'}=\sqrt{10}\;\rm \text{m/s}$

结合$mgh=\dfrac{1}{2}mv_{0}{{}{'}}^{2}$，$mv_{0}'=2mv_{C}'$

联立解得$h=2\;\rm m$

若滑块$3$最终落入$I$点的洞中，则游戏成功。讨论游戏成功的高度$h$。

$2.5\\;\\rm m$或$2\\;\\rm m$

滑块$3$从$C{'}$点到$F$点的过程中，由动能定理$- 2mgL\sin 37{^\circ}-\mu \cdot 2mg\cos 37{^\circ}L=\dfrac{1}{2} \times 2mv_{F}^{2}-\dfrac{1}{2} \times 2mv_{C}{{}{'}}^{2}$

若滑块$3$直接落入洞中，则竖直方向$v_{F}\sin 37{^\circ}=g\dfrac{t_{1}}{2}$

水平方向$L_{FG}+L_{GH}+L_{HI}=v_{F}\cos 37^\circ t_{1}$

结合$mgh_{1}=\dfrac{1}{2}mv_{0}{{}{''}}^{2}$，$mv_{0}^{″}=2mv_{C}^{″}$

联立解得$h_{1}=2.5\ \rm m$

若经一次反弹落入洞中，则$t_{2}=\dfrac{2{v_{F}}{'}\sin 37{^\circ}}{g}+\dfrac{{v_{F}}{'}\sin 37{^\circ}}{g}$

水平方向$L_{FG}+L_{GH}+L_{HI}=v_{F}'\cos37^{\circ}t_{2}$

结合$mgh_{2}=\dfrac{1}{2}mv_{0}{{}{'''}}^{2}$，$mv_{0}^{‴}=2mv_{C}^{‴}$，$- 2mgL\sin 37{^\circ}-\mu \cdot 2mg\cos 37{^\circ}L=\dfrac{1}{2} \times 2mv_{F}{{'}}^{2}-\dfrac{1}{2} \times 2mv_{C}{{}{'''}}^{2}$

联立解得$h_{2}=2\ \rm m$