物块由$a$运动到$b$所用的时间；

$5\\;\\rm s$；

受力分析知物体的加速度为$a=\dfrac{F\cos 37{^\circ}-\mu\left( F\sin 37{^\circ}+mg \right)}{m}=1.6\;\rm \text{m}/{s}^{2}$

$x=\dfrac{1}{2}a_{1}t^{2}$

解得$a$到$b$的时间为$t=\sqrt{\dfrac{2 \times 20}{1.6}}\;\rm {s}=5\;\rm{s}$；

若物块从$a$端运动到$P$点时撤掉推力，则物块刚好能从斜面$b$端开始下滑，则间$aP$的距离为多少？（物块在$b$端无能量损失）

$14.3\\;\\rm m$；

物体从$a$到$P$$v_{P}^{2}=2a_{1}x_{1}$

物块由$P$到$b$$v_{P}^{2}=2a_{2}x_{2}$

$a_{2}=\mu g$

$x=x_{1}+x_{2}$

解得$aP$距离为$x_{1}=14.3\;\rm m$；

若物块与斜面间的动摩擦因数$\mu_{bc}= \dfrac{\sqrt{3}}{10}+ \dfrac{\sqrt{3}}{3}L_{b}$，式中$L_{b}$为物块在斜面上所处的位置离$b$端的距离（斜面足够长），在（$2$）中的情况下，物块沿斜面滑多少距离时速度最大？最大速度为多少？

$0.7\\;\\rm m$，$\\dfrac{7}{10}\\sqrt{5}\\;\\rm{m/s}$。

物块沿斜面$bc$下滑的过程中，受摩擦力逐渐变大，则先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动，加速度为零时速度最大。

在该位置，由牛顿第二定律得

$mg\sin30^\circ-\mu bcmg\cos30^\circ=0$

由题意可知$\mu_{bc}=\dfrac{\sqrt{3}}{10}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}L_{b}$

解得$Lb=0.7\;\rm m$

因加速度与下滑的位移成线性关系，可知从开始运动到速度最大平均加速度为$a=\dfrac{a_{0}+0}{2}=\dfrac{1}{2}(g\sin 30^{^\circ}-\mu_{bc}{}_{0}g\cos 30^{^\circ}=\dfrac{7}{4}\;\rm {m/s}^{{2}}$

则最大速度$v_{{\rm m}}=\sqrt{2aL_{b}}=\dfrac{7}{10}\sqrt{5}\;\rm{m/s}$。