滑块到达$B$点的速度大小；

$2\\;\\rm m/s$；

恰好沿切线方向进入斜面$BC$，滑块到达$B$点的速度大小$v_{B}=\dfrac{v_{0}}{\cos\theta}=2\;\rm \text{m/s}$

滑块到达$C$点的速度大小；

$4\\;\\rm m/s$；

滑块沿斜面方向加速度为$a_{1}=\dfrac{mg\sin\theta-\mu_{1}mg\cos\theta}{m}=2\;\rm \text{m/s}^{2}$

由速度位移关系可得$v_{C}^{2} − v_{B}^{2}=2a_{1}s$

到达$C$点的速度大小$v_{C}=4\;\rm m/s$；

长木板第一次与固定桩$H$相撞的速度大小；

$2\\;\\rm m/s$；

由题可知$v_{D}=v_{C}=4\;\rm m/s$

假设滑块到达$H$点前能达到共同速度，设共同速度为$v$，由动量守恒定律$mv_{D}=(M+m)v$

解得$v=2.0\;\rm m/s$

滑块在长木板上相对运动时，滑块和长木板的加速度大小均为$a$，则$a=\mu g=4.0\;\rm m/s^{2}$

设刚达到共同速度时，滑块位移为$x_{1}$，长木板位移为$x_{2}$，由运动学公式$v^{2} − v_{D}^{2}=-2ax_{1}$

解得$x_{1}=1.5\;\rm m$

由$v^{2}=2ax_{2}$

解得$x_{2}=0.5\;\rm m$

则达到共同速度时滑块和长木板均刚好到达$H$处，长木板第一次与固定桩$H$相撞的速度大小为$2\;\rm m/s$；

半圆轨道半径$R$需要满足的条件。

$R=\\dfrac{n}{2\\pi}(\\text{m})$（其中$n=1, 2, 3…$）。

滑块在水平轨道运动的时间与长木板来回碰撞的时间相等。$\dfrac{2\pi R+L}{v}=\dfrac{3\left( L-L_{0} \right)+2n\left( L-L_{0} \right)}{v}$

解得

$R=\dfrac{n}{2\pi}(\text{m})$（其中$n=1, 2, 3…$）。