$A$与挡板碰撞前瞬间，$A$的速度大小$v_{1}$；

$1.5\\;\\rm m/s$

$AB$间的滑动摩擦力为：$f_{1}=\mu _{1}m_{A}g=0.2\times 2.0\times 10\;\rm N=4\;\rm N$

$B$与地面间的最大静摩擦力为：$f_{m}=\mu _{2}(m_{A}+m_{B})$$g=0.3\times(2.0+1.0)\times 10\;\rm N=9\;\rm N$

因为$f_{m}\gt f_{1}$，所以，$A$与挡板碰撞前，$B$静止不动，对$A$根据牛顿第二定律：$\mu _{1}m_{A}g=m_{A}a_{1}$

代入数据解得：$a_{1}=2\;\rm m/s^{2}$

根据速度—位移关系：$v_{0}^{2}-v_{1}^{2}=2a_{1}L$

代入数据解得：$v_{1}=1.5\;\rm m/s$

$A$与挡板碰撞后瞬间，$A$和$B$的速度大小$v_{A}$和$v_{B}$；

$0.5\\;\\rm m/s$，$2\\;\\rm m/s$

$A$与挡板碰撞，以向右为正方向，根据动量守恒定律得：$m_{A}v_{1}=m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}$

且机械能守恒：$\dfrac{1}{2}m_{A}v_{A}^{2}=\dfrac{1}{2}m_{A}v_{A}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{B}v_{A}^{2}$

解二次方程得：$v_{A}=0.5\;\rm m/s$，$v_{B}=2\;\rm m/s$

整个过程$B$的位移大小$x_{B}$。

$0.184\\;\\rm m$

碰撞后，$A$所受滑动摩擦力大小仍为：$f_{1}=\mu _{1}m_{A}g=0.2\times 2.0\times 10\;\rm N=4\;\rm N$

但方向变为水平向右，则$A$的加速度大小为：$a= \dfrac{f_{1}}{m_{A}}=\dfrac{4}{2}\;\rm m/s^{2}=2\;\rm m/s^{2}$

方向水平向右。$B$上下表面所受滑动摩擦力大小分别为：$f_{B1}=f_{1}=4\;\rm N$，$f_{B2}=f_{m}=\mu _{2}(m_{A}+m_{B})g=0.3\times(2+1)\times 10\;\rm N=9\;\rm N$

方向匀水平向左，对$B$根据牛顿第二定律：$f_{B1}+f_{B2}=m_{B}a_{3}$

解得，$B$的加速度大小为：$a_{3}=13\;\rm m/s^{2}$，方向水平向左；

假设$A$、$B$经时间$t$达到共速时，共速的速度大小为$v$，此时$A$仍在$B$上，则有：$v_{A}+a_{2}t=v_{B}-a_{3}t=v$

联立代入数据解得：$t=0.1\;\rm s$，$v=0.7\;\rm m/s$

碰后到共速，$A$的对地位移大小为：$x_{A1}=v_{A}t+ \dfrac{1}{2}a_{2}t^{2}=0.5\times 0.1\;\rm m+ \dfrac{1}{2} \times 2 \times 0.1^{2}\;m=0.06\;m$

碰后到共速，$B$的对地位移大小为：$x_{B1}=v_{B}t-\dfrac{1}{2}a_{3}t^{2} =2\times 0.1\;\rm m-\dfrac{1}{2} \times 13 \times 0.1^{2}\;m=0.135\;m$

$A$相对$B$的位移大小为：$\Delta s=x_{B1}-x_{A1}=0.135-0.06\;{\rm m}=0.075\;{\rm m}\lt L$

所以，假设成立，即共速时，$A$还未到达右端。

假设共速后，$A$、$B$发生相对滑动，共速后$A$做减速运动的加速度满足：$\mu _{1}m_{A}g=m_{A}a_{4}$

解得，$A$做减速运动的加速度大小为：$a_{4}=2\;\rm m/s^{2}$

方向水平向左；$B$减速的加速度满足：$f_{B2}-f_{B1}=m_{B}a_{5}$

解得，$B$做减速运动的加速度大小为：$a_{5}=5\;\rm m/s^{2}\gt a_{4}$

所以，假设成立，即共后$A$仍相对$B$向右减速

则$A$减速为零的位移大小为：$x_{A2}= \dfrac{v^{2}}{2a_{4}}=\dfrac{0.7^{2}}{2 \times 2}\;\rm m=0.1225\;m$

$B$减速为零的位移大小为：$x_{B2}= \dfrac{v^{2}}{2a_{5}}=\dfrac{0.7^{2}}{2 \times 5}\;\rm m=0.049\;m$

该阶段$A$相对$B$向前运动的位移大小为：$\Delta s'=x_{A2}-x_{B2}$

代入数据得：$\Delta s^\prime=0.0735\;{\rm m}\lt \Delta s=0.075\;\rm m$

之后不会再次相碰，所求整个过程$B$的位移大小为：$x_{B}=x_{B1}+x_{B2}=0.135\;\rm m+0.049\;m=0.184\;m$