求物块由$a$运动到$b$所用的时间；

$5\\;\\rm s$

以物体为对象，根据牛顿第二定律可得$F\cos 37^\circ-\mu (F\sin 37^\circ +mg)=ma_{1}$

解得加速度为$a_{1}=1.6\;\rm m/s^{2}$

根据运动学公式可得$x_{ab}=\dfrac{1}{2}a_{1}t^{2}$

解得物块由$a$运动到$b$所用的时间为$t=\sqrt{\dfrac{2 \times 20}{1.6}}\;\text{s}=5\;\rm \text{s}$

物块运动到$b$端后，撤去推力$F$，物块沿斜面$bc$加速下滑。若从$b$端下滑到$c$端的时间为$2\;\rm s$，求物块与斜面间的动摩擦因数；

$\\dfrac{\\sqrt{3}}{5}$

物块运动到$b$端时速度为$v_{b}=a_{1}t=8\;\rm m/s$

又$x_{bc}=v_{b}t'+\dfrac{1}{2}a'{t'}^{2}$

代入数据解得$a'=2\;\rm m/s^{2}$

在斜面上，根据牛顿第二定律可得$mg\sin 30^\circ-\mu 'mg\cos 30^\circ =ma'$

解得物块与斜面间的动摩擦因数为$\mu'=\dfrac{\sqrt{3}}{5}$

若物块从$a$端运动到$P$点时撤掉推力，物块刚好能运动到$b$端，求$a$、$P$两点间的距离。

$\\dfrac{100}{7}\\ \\text{m}$

物块从$a$到$P$有$v_{P}^{2}=2a_{1}x_{1}$

物块由$P$到$b$有$v_{P}^{2}=2a_{2}x_{2}$

且$a_{2}=\dfrac{\mu mg}{m}=\mu g$

又$x_{ab}=x_{1}+x_{2}$

联立解得$a$、$P$距离为$x_{1}=\dfrac{100}{7}\ \text{m}$