木板与台阶碰前向右运动的时间$t$；

$4.5\\;\\rm s$；

对物块，静摩擦力提供的最大加速度$a_{1}$，由牛顿第二定律得$\mu mg=ma_{1}$

$a_{1}=5\;\rm m/s^{2}$

假如物块与木板之间不打滑，对物块和木板整体$F=(M+m)a$

$a=\dfrac{F}{M+m}=12.5\;\rm \text{m}/\text{s}^{2} \gt a_{1}$

物块与木板发生相对滑动。

木板向右加速过程：对木板$F − \mu mg=Ma_{2}$

得$a_{2}=15\;\rm m/s^{2}$

又$v_{2}=a_{2}t_{1}=15\;\rm m/s$

$x_{2}=\dfrac{1}{2}a_{2}t_{1}^{2}=7.5\;\rm \text{m}$，

撤掉拉力$F$后，假设木板与台阶碰撞前能达到与物块共速，

对木板，由牛顿第二定律$\mu mg=Ma_{3}$

得$a_{3}=\dfrac{5}{3}\;\rm {m}/\text{s}^{2}$

又$v=v_{2} − a_{3}t_{2}$

$x_{3}=v_{2}t_{2}-\dfrac{1}{2}a_{3}t_{2}^{2}$

对物块$v=a_{1}(t_{1}+t_{2})$

联立得

$t_{2}=1.5\;\rm s$，$v=12.5\;\rm m/s$，$x_{3}=20.625\;\rm m$

因为$x_{3} \lt s − x_{2}=45.625\;\rm m$

物块与木板先达到共速之后一起匀速直到与台阶碰撞$s − x_{2} − x_{3}=vt_{3}$

解得$t_{3}=2\;\rm s$

木板与台阶碰前向右运动的时间$t=t_{1}+t_{2}+t_{3}=4.5\;\rm s$；

判断物块是否能滑离木板？并求物块与木板之间的相对路程。

能滑离木板，$28.125\\;\\rm m$。

在木板匀速之前，对物块$x_{1}=\dfrac{1}{2}a_{1}\left( t_{1}+t_{2} \right)^{2}=15.625\;\rm \text{m}$

物块相对于木板向左移动的距离为$\Delta x=x_{2}+x_{3} − x_{1}=12.5\;\rm m$

木板停止运动后，假设物块始终在木板上，则物块向右减速到零的过程中：$0 − v^{2}=-2a_{1}x_{4}$

得$x_{4}=15.625\;\rm m$

因为$\Delta x \lt x_{4}$

所以，物块将从木板右端滑离木板。物块相对于木板的路程$s=\Delta x+x_{4}=28.125\;\rm m$。