判断滑块$P$和$Q$是否能够相遇？如果能相遇，求从开始到相遇所需要的时间$t$和相遇时到传送带底端的距离$x$，如果不能相遇，求$P$和$Q$间的最小距离$s$；

能相遇，$t=15\\;\\rm s$，$x=165\\;\\rm m$；

对滑块$Q$，沿传送带下滑过程中$\tan\theta=\tan 37{^\circ}=\dfrac{3}{4} \lt \mu$

滑块$Q$沿传送带向下做匀减速直线运动$\mu _{1}m_{Q}g\cos \theta − m_{Q}g\sin \theta=m_{Q}a_{1}$

得$a_{1}=0.4\;\rm m/s^{2}$

又$0=v_{01} − a_{1}t_{1}$

得$t_{1}=10\;\rm s$

又因为$0 − v_{01}^{2}=-2a_{1}x_{1}$

得$x_{1}=20\;\rm m$

对滑块$P$，沿滑道下滑过程$m_{P}g\sin \alpha − \mu _{2}m_{P}g\cos \alpha=m_{P}a_{2}$

得$a_{2}=6.4\;\rm m/s^{2}$

下滑到滑道底端的速度及所需要的时间$v_{2}=a_{2}t_{2}$

$\dfrac{H}{\sin\alpha}=\dfrac{1}{2}a_{2}t_{2}^{2}$

得$t_{2}=10\;\rm s$

$v_{2}=64\;\rm m/s$

滑块$P$下滑到轨道底端时，滑块$Q$速度刚好减为零，此时两滑块间距离$\Delta x=L − x_{1}=160\;\rm m$

之后滑块$Q$被传送带带着反向加速，滑块$P$滑上传送带沿传送带减速上滑。

滑块$Q$加速 到与传送带共速时$v_{0}=a_{1}t_{3}$

得$t_{3}=5\;\rm s$

由$v_{0}^{2}=2a_{1}x_{2}$

得$x_{2}=5\;\rm m$

滑块$P$减速到与传送带共速时$m_{P}g\sin \theta+\mu _{1}m_{P}g\cos \theta=m_{P}a_{3}$

得$a_{3}=12.4\;\rm m/s^{2}$

由$v_{0}^{2} − v_{2}^{2}=-2a_{3}x_{3}$

得$x_{3}=165\;\rm m$

又$v_{0}=v_{2} − a_{3}t_{4}$

得$t_{4}=5\;\rm s$

又$x_{3} − x_{2}=160\;\rm m$

由于$\Delta x=x_{3} − x_{2}$

$t_{4}=t_{3}$

所以两滑块与传送带共速时恰好相遇。

从开始到相遇的时间$t=t_{1}+t_{3} − 15\;\rm s$

相遇的位置为距离传送带底端$165\;\rm m$处；

滑块$P$和$Q$在传送带上滑动时相对于传送带的路程分别是多少。

$45\\;\\rm m$，$155\\;\\rm m$。

滑块$P$在传送带上运动过程，对传送带$x_{4}=v_{0}t_{4}=10\;\rm m$

滑块$P$相对于传送带的路程为$\Delta s_{1}=x_{3} − x_{4}=155\;\rm m$

滑块$Q$沿传送带下滑过程：对传送带$x_{5}=v_{0}t_{1}=20\;\rm m$

滑块$Q$沿传动带上滑过程：对传送带$x_{6}=v_{0}t_{3}=10\;\rm m$

滑块$Q$相对于传送带的路程为$\Delta s_{2}=x_{1}+x_{5}+x_{6} − x_{2}=45\;\rm m$。