若将木板锁定在水平面上，求小物块到达圆弧最低点时受到木板的支持力大小$F_{\rm N}$；

$5mg$；

当木板固定在水平面上时，则根据动能定理$mg \times 2R=\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}$

物块在最低点时，所受支持力和重力的合力提供向心力$F_{\text{N}}-mg=m\dfrac{v_{0}^{2}}{R}$

解得$F_{\rm N}=5mg$

若木板未锁定，求小物块到达圆弧最低点时，小物块速度大小$v_{1}$与木板速度大小$v_{2}$；

$v_{2}=\\sqrt{\\dfrac{2gR}{15}}$， $v_{1}= 5\\sqrt{\\dfrac{2gR}{15}}$，；

若木板未锁定，则木板在水平方向上动量守恒，物块在圆弧上运动时系统机械能守恒$mv_{1}=5mv_{2}$

$mg \times 2R=\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}+\dfrac{1}{2} \times 5mv_{2}^{2}$

解得$v_{1}=5\sqrt{\dfrac{2gR}{15}}$，$v_{2}=\sqrt{\dfrac{2gR}{15}}$

求在（$2$）问情况中弹簧弹性势能的最大值$E_{pm}$。

$2mgR(1-\\mu )$

木板和物块动量守恒，当木板和物块共速时，弹簧弹性势能的最大，取向左为正方向$5mv_{2} − mv_{1}=6mv$

根据能量守恒$mg \times 2R=\mu mg \times 2R+\dfrac{1}{2} \times 6mv^{2}+E_{\text{p}}$

解得$E_{\rm p}=2mgR(1-\mu )$