高中 | 洛伦兹力 题目答案及解析
稿件来源：高途
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选修3-1
第三章 磁场
3.5 运动电荷在磁场中受到的力
洛伦兹力
如图所示，在$0\leqslant x\leqslant a$、$0\leqslant y\leqslant \dfrac{a}{2}$范围内有垂直于$xy$平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 $B$，坐标原点$O$处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为$m$、电荷量为$q$的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在$xy$平面内，与$y$轴正方向的夹角分布在$0\sim 90^\circ $范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于$\dfrac{a}{2}$到$a$之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：
速度的大小；
$v=\\left(2-\\dfrac{\\sqrt{6}}{2}\\right)\\dfrac{aqB}{m}$
"]]设粒子的发射速度为$v$，粒子做圆周运动的轨道半径为$R$，根据洛伦兹力提供向心力，得$qvB=m\dfrac{v^{2}}{R}$
解得$R=\dfrac{mv}{qB}$
当$\dfrac{a}{2}\lt R\lt a$时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为$c$的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为$t$，依题意$t=\dfrac{t}{4}$，回旋角度为$∠oca=\dfrac{\pi}{2}$，设最后离开磁场的粒子的发射方向与$y$轴正方向的夹角为$\alpha$，由几何关系得$r\sin\alpha=r-\dfrac{a}{2}\lt a$时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为$c$的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为$t$，依题意$t=\dfrac{T}{4}$，回旋角度为$∠oca=\dfrac{\pi}{2}$，设最后离开磁场的粒子的发射方向与$y$轴正方向的夹角为$\alpha$，由几何关系得$r\sin\alpha=r-\dfrac{a}{2}$
$R\sin\alpha=a-R\cos\alpha$
$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$
解得$R=\left( 2-\dfrac{\sqrt{6}}{2} \right)a$
$v=\left( 2-\dfrac{\sqrt{6}}{2} \right)\dfrac{aqB}{m}$
$\sin\alpha=\dfrac{6-\sqrt{6}}{10}$
故最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的速度大小为$v=\left( 2-\dfrac{\sqrt{6}}{2} \right)\dfrac{aqB}{m}$．
速度方向与$y$轴正方向夹角的正弦。
$\\sin\\alpha=\\dfrac{6-\\sqrt{6}}{10}$
"]]由第一问可知，最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的速度方向与$y$轴正方向夹角的正弦为$\sin\alpha=\dfrac{6-\sqrt{6}}{10}$．
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